Üslü Sayılar

Üs, bir büyüklüğün üstüne ve sağına yerleştirilen pozitif veya negatif bir sayı veya 0'dır.

Miktarın yükseltileceği veya düşürüleceği gücü ifade eder.

Örnek: $ 2^3 $'da 3 üstür. 2'nin üç kez faktör olarak kullanılacağını gösterir $ 2 \times 2 \times 2 $.

$ 2^3 $ iki üzeri üç olarak okunur. (ya da ikinin üçüncü kuvveti).

$ x \neq 0 $ olmak üzere $ x^{-\alpha} = \frac{1}{x^\alpha} $'dır.

Eğer üs negatif ise, sayı paydaya yazılarak işaret değiştirir.

Örnek: $$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $$

Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

$$ x \neq 0 \quad \land \quad x \in R \quad \Rightarrow \quad x^{0} = 1 $$

$$ (-2)^{0} = 1 $$ $$ (-\frac{1}{3})^{0} = 1 $$

$ 0^0 $ belirsizdir.

$$ (x^y)^z = x^{y \cdot z} $$

Üslü sayısının üssü alınırken, üsler birbiriyle çarpılır.

$$ (\frac{x}{y})^z = \frac{x^z}{y^z} $$

Bir kesrin kuveti alınırken, pay ve paydanın ayrı olarak kuevveti alınır.

Üslü sayılarda dört işlem

Toplama ve Çıkarma

Tabanları ve üsleri aynı olan üslü sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapılırken katsayılar toplanır veya çıkarılır.

Çarpma ve Bölme

Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.

$$ x^a \cdot x^b = x^{a+b} $$

Tabanları farklı, üsleri aynı olan sayılar çarpılırken, tabanlar çapılır üs aynı kalır.

$$ x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a $$

Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken payın üssü paydanın üssünden çıkarılır.

$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

Tabanları farklı, üsleri aynı olan sayılar bölünürken, tabanlar bölünür üs aynı kalır.

$$ \frac{x^a}{y^a} = (\frac{x}{y})^a $$

Üslü sayılarda sıralama

Tabanları aynı olan üslü sayılardan üssü büyük olanın değeri büyüktür.
Tabanları farklı üsleri aynı olan sayılardan tabanı büyük olanın değeri büyüktür.

Örnekler

Örnek 1

$$ 4^x - 4^y = 768 $$ $$ 2^x - 2^y = 16 $$

Olduğuna göre $ x+y $ kaçtır?

A) 6

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

Çözümü göster

\begin{align} 4^x - 4^y = 768 & \\ 2^x - 2^y = 16 & \\ (2^x - 2^y) (2^x + 2^y) = 768 & \\ (2^x + 2^y) \cdot 16 = 768 & \\ (2^x + 2^y) = 48 & \\ \end{align}

\begin{align} 2^x + 2^y = 48 & \\ \underline{+\quad 2^x - 2^y = 16} & \\ 2 \cdot 2^x = 64 & \\ 2^x = 32 & \\ x = 5 & \\ y = 4 & \\ x + y = 9 & \\ \end{align}

Doğru cevap C şıkkıdır.

Örnek 2

$$ \frac{(0,008)^{0.\overline{3}}}{0,4} = 2x $$

olduğuna göre x kaçtır?

A) $ \frac{1}{8} $

B) $ \frac{1}{4} $

C) 1

D) 2

E) 4

Çözümü göster

$$ 0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$ \begin{align} \frac{\bigl((0,2)^3)^{\frac{1}{3}}}{0,4} = 2x \\ \frac{0,2}{0,4} = 2x \\ \frac{2}{4} = 2x \\ \frac{1}{4} = x \\ \end{align} Doğru cevap B şıkkıdır.