====== Üslü Sayılar ======

Üs, bir büyüklüğün üstüne ve sağına yerleştirilen pozitif veya negatif bir sayı veya 0'dır.

Miktarın yükseltileceği veya düşürüleceği gücü ifade eder.

<WRAP center round box>

**Örnek:** $ 2^3 $'da 3 üstür. 2'nin üç kez faktör olarak kullanılacağını gösterir $ 2 \times 2 \times 2 $.

$ 2^3 $ iki üzeri üç olarak okunur. (ya da ikinin üçüncü kuvveti).

</WRAP>

<WRAP info>
$ x \neq 0 $ olmak üzere $ x^{-\alpha} = \frac{1}{x^\alpha} $'dır.

Eğer üs negatif ise, sayı paydaya yazılarak işaret değiştirir.

<WRAP center round box>
**Örnek:** 
$$ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $$
</WRAP>
</WRAP>

<WRAP tip round>
  * Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.
  * Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
</WRAP>

<WRAP info>

$$ x \neq 0 \quad \land \quad x \in R \quad \Rightarrow \quad x^{0} = 1 $$

<WRAP round box>

$$ (-2)^{0} = 1 $$
$$ (-\frac{1}{3})^{0} = 1 $$

</WRAP>
</WRAP>

<WRAP alert>
$ 0^0 $ belirsizdir.
</WRAP>

<WRAP info>
$$ (x^y)^z = x^{y \cdot z} $$

Üslü sayısının üssü alınırken, üsler birbiriyle çarpılır.
</WRAP>

<WRAP info>
$$ (\frac{x}{y})^z = \frac{x^z}{y^z} $$

Bir kesrin kuveti alınırken, pay ve paydanın ayrı olarak kuevveti alınır.
</WRAP>

===== Üslü sayılarda dört işlem =====

==== Toplama ve Çıkarma ====

Tabanları ve üsleri aynı olan üslü sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapılırken katsayılar toplanır veya çıkarılır.

==== Çarpma ve Bölme ====

Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.

$$ x^a \cdot x^b = x^{a+b} $$

Tabanları farklı, üsleri aynı olan sayılar çarpılırken, tabanlar çapılır üs aynı kalır.

$$ x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a $$

Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken payın üssü paydanın üssünden çıkarılır.

$$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

Tabanları farklı, üsleri aynı olan sayılar bölünürken, tabanlar bölünür üs aynı kalır.

$$ \frac{x^a}{y^a} = (\frac{x}{y})^a $$

===== Üslü sayılarda sıralama =====

  - Tabanları aynı olan üslü sayılardan üssü büyük olanın değeri büyüktür.
  - Tabanları farklı üsleri aynı olan sayılardan tabanı büyük olanın değeri büyüktür.


===== Örnekler =====

<WRAP group>
<WRAP half column>
<WRAP announcement blue round>
==== Örnek 1 ====

$$ 4^x - 4^y = 768 $$
$$ 2^x - 2^y = 16 $$

Olduğuna göre **$ x+y $ kaçtır?**

<WRAP group>
<WRAP column>**A)** 6</WRAP>
<WRAP column>**B)** 8</WRAP>
<WRAP column>**C)** 9</WRAP>
<WRAP column>**D)** 10</WRAP>
<WRAP column>**E)** 12</WRAP>
</WRAP>

<hidden Çözümü göster>
\begin{align}
4^x - 4^y = 768 & \\
2^x - 2^y = 16 & \\
(2^x - 2^y) (2^x + 2^y) = 768 & \\
(2^x + 2^y) \cdot 16 = 768 & \\
(2^x + 2^y) = 48 & \\
\end{align}

\begin{align}
2^x + 2^y = 48 & \\
\underline{+\quad 2^x - 2^y = 16} & \\
2 \cdot 2^x = 64 & \\
2^x = 32 & \\
x = 5 & \\
y = 4 & \\
x + y = 9 & \\
\end{align}

Doğru cevap **C** şıkkıdır.
</hidden>
</WRAP>
</WRAP>

<WRAP half column>
<WRAP announcement blue round>
==== Örnek 2 ====

$$  \frac{(0,008)^{0.\overline{3}}}{0,4} = 2x $$

olduğuna göre **x kaçtır?**

<WRAP group>
<WRAP column>**A)** $ \frac{1}{8} $</WRAP>
<WRAP column>**B)** $ \frac{1}{4} $</WRAP>
<WRAP column>**C)** 1</WRAP>
<WRAP column>**D)** 2</WRAP>
<WRAP column>**E)** 4</WRAP>
</WRAP>

<hidden Çözümü göster>

$$ 0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$
\begin{align}
\frac{\bigl((0,2)^3)^{\frac{1}{3}}}{0,4} = 2x \\
\frac{0,2}{0,4} = 2x \\
\frac{2}{4} = 2x \\
\frac{1}{4} = x \\
\end{align}
Doğru cevap **B** şıkkıdır.
</hidden>

</WRAP>
</WRAP>
</WRAP>